非负矩阵

Perron-Frobenius 定理

若$A\ge 0$是一个$n\times n$阶不可约矩阵，下列性质成立：

• 谱半径$\rho(A)\gt 0$是$A$的一特征值，称为 Perron根；

• $\rho(A)$的代数重数等于1；

• 存在唯一$x\gt 0$，称为 Perron向量，使得$Ax=\rho(A)x$且$||x||1=1$，即$\sum\limits{i=1}^nx_i=1$；

• 对应特征值$\lambda \not=\rho(A)$的特征向量不为非负向量；

• 令$S={x|x\ge0,x\not=0}$，由Cpllatz-Wielandt可知：

$$ho(A)=\mathop{max}_{X\in S}\mathop{min}_{1\le i\le n且x_i\not=0}\frac{(Ax)_i}{x_i}$$